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                  • 四个热力学函数
                    • 麦克斯韦关系
                      • 节流过程
                        • 内能与焓的积分形式
                          • 热辐射
                            • 磁介质
                              • 重要习题
                              • 第三章

                              第二章

                              Mr.Hope2020年12月28日
                              • 物理
                              • 热统
                              大约 2 分钟

                              此页内容
                              • 四个热力学函数
                              • 麦克斯韦关系
                              • 节流过程
                              • 内能与焓的积分形式
                              • 热辐射
                              • 磁介质
                              • 重要习题

                              # 四个热力学函数

                              H=U+pVF=U−TSG=U−TS+pV\begin{aligned} H =& U + pV\\ F =& U - TS\\ G =& U - TS + pV \end{aligned} H=F=G=​U+pVU−TSU−TS+pV​

                              微分形式:

                              U=TdS−pdVU = TdS - pdV U=TdS−pdV

                              F=−SdT−pdVF = -SdT - pdV F=−SdT−pdV

                              H=TdS+VdpH = TdS + Vdp H=TdS+Vdp

                              G=−SdT+VdpG = -SdT + Vdp G=−SdT+Vdp

                              H=G−T∂G∂TH=G-T\frac{\partial G}{\partial T} H=G−T∂T∂G​

                              U=F−T∂F∂T=G−T∂G∂T−p∂G∂pU=F-T\frac{\partial F}{\partial T} =G-T\frac{\partial G}{\partial T}-p\frac{\partial G}{\partial p} U=F−T∂T∂F​=G−T∂T∂G​−p∂p∂G​

                              # 麦克斯韦关系

                              (∂T∂V)S=−(∂p∂S)V\Big(\frac{\partial T}{\partial V}\Big)_S = -\Big(\frac{\partial p}{\partial S}\Big)_V (∂V∂T​)S​=−(∂S∂p​)V​

                              (∂T∂p)S=(∂V∂S)p\Big(\frac{\partial T}{\partial p}\Big)_S = \Big(\frac{\partial V}{\partial S}\Big)_p (∂p∂T​)S​=(∂S∂V​)p​

                              (∂S∂V)T=(∂p∂T)V\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T = \Big(\frac{\partial p}{\partial T}\Big)_V (∂V∂S​)T​=(∂T∂p​)V​

                              (∂S∂p)T=−(∂V∂T)p\Big(\frac{\partial S}{\partial p}\Big)_T = -\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p (∂p∂S​)T​=−(∂T∂V​)p​

                              一些扩展:

                              Cv=(∂U∂T)V=T(∂S∂T)VC_v = \Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_V = T \Big(\frac{\partial S}{\partial T}\Big)_V Cv​=(∂T∂U​)V​=T(∂T∂S​)V​

                              Cp=(∂U∂T)p+p(∂V∂T)p=(∂H∂T)p=T(∂S∂T)pC_p = \Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_p + p \Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p = \Big(\frac{\partial H}{\partial T}\Big)_p = T \Big(\frac{\partial S}{\partial T}\Big)_p Cp​=(∂T∂U​)p​+p(∂T∂V​)p​=(∂T∂H​)p​=T(∂T∂S​)p​

                              (∂U∂V)T=T(∂p∂T)V−p=Tpβ−p\Big(\frac{\partial U}{\partial V}\Big)_T = T\Big(\frac{\partial p}{\partial T}\Big)_V - p = \frac{T}{p}\beta - p (∂V∂U​)T​=T(∂T∂p​)V​−p=pT​β−p

                              (∂H∂p)T=V−T(∂V∂T)p=V−TVα(\frac{\partial H}{\partial p})_T = V - T(\frac{\partial V}{\partial T})_p = V - \frac{T}{V}\alpha (∂p∂H​)T​=V−T(∂T∂V​)p​=V−VT​α

                              # 节流过程

                              气体在节流过程中焓不变。

                              μ=(∂T∂p)H=VCp(Tα−1)=1Cp[T(∂V∂T)p−V]\mu=\Big(\cfrac{\partial T}{\partial p}\Big)_H = \cfrac{V}{C_p}(T\alpha - 1)=\cfrac{1}{C_p}\Big[T\Big(\cfrac{\partial V}{\partial T}\Big)_p -V\Big]μ=(∂p∂T​)H​=Cp​V​(Tα−1)=Cp​1​[T(∂T∂V​)p​−V] 称为焦汤系数。

                              可以利用节流过程中 μ>0\mu > 0μ>0 一侧制冷区,利用节流过程使得液体降温而液化。

                              # 内能与焓的积分形式

                              U=∫{CvdT+[T(∂p∂T)V−p]dV}+U0U = \int\{C_vdT+[T(\frac{\partial p}{\partial T})_V -p]dV\}+U_0 U=∫{Cv​dT+[T(∂T∂p​)V​−p]dV}+U0​

                              S=∫[CvTdT+(∂p∂TdV)]+S0S = \int[\frac{C_v}{T}dT+(\frac{\partial p}{\partial T}dV)]+S_0 S=∫[TCv​​dT+(∂T∂p​dV)]+S0​

                              # 热辐射

                              辐射压强 p=13up=\cfrac{1}{3}up=31​u,而能态密度 u=aT4u=aT^4u=aT4。

                              S=43aT3VS=\cfrac{4}{3}aT^3VS=34​aT3V (可逆绝热下有 T3VT^3VT3V 常数)

                              辐射通量密度 Ju=14CUJ_u=\cfrac{1}{4}CUJu​=41​CU

                              # 磁介质

                              m=MVm=MVm=MV 是介质的总磁矩

                              所做的功为 dW=μ0HdmdW =\mu_0HdmdW=μ0​Hdm

                              磁介质的内能满足 dU=TdS+μ0hdmdU=TdS+\mu_0hdmdU=TdS+μ0​hdm

                              磁介质的吉布斯函数满足 dG=−SdT−μ0mdHdG=-SdT-\mu_0mdHdG=−SdT−μ0​mdH

                              磁介质的热容 CH=T(∂S∂T)HC_H=T(\cfrac{\partial S}{\partial T})_HCH​=T(∂T∂S​)H​ 则 (∂T∂H)S=−μ0TCH(∂m∂T)M(\cfrac{\partial T}{\partial H})_S=-\cfrac{\mu_0T}{C_H}(\cfrac{\partial m}{\partial T})_M(∂H∂T​)S​=−CH​μ0​T​(∂T∂m​)M​

                              居里定律: m=CVTHm=\cfrac{C_V}{T}Hm=TCV​​H 可以得出: (∂T∂H)S=CVCHTμ0H(\cfrac{\partial T}{\partial H})_S=\cfrac{C_V}{C_HT}\mu_0H(∂H∂T​)S​=CH​TCV​​μ0​H 和 TdS=CVdT+TακTdVTdS =C_VdT+T\cfrac{\alpha}{\kappa_T}dVTdS=CV​dT+TκT​α​dV

                              # 重要习题

                              1. 证明 κsκT=CvCp\cfrac{\kappa_s}{\kappa_T} = \cfrac{C_v}{C_p}κT​κs​​=Cp​Cv​​

                              2. 证明 Cp−CV=−T(∂p∂T)V2(∂p∂V)TC_p - C_V = -T\cfrac{(\cfrac{\partial p}{\partial T})_V^2}{(\cfrac{\partial p}{\partial V})_T}Cp​−CV​=−T(∂V∂p​)T​(∂T∂p​)V2​​

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