Mr.Hope

第一章

Mr.Hope ... 2020-12-28 物理
  • 热统
 大约 3 分钟

# 概念

  • 孤立系: 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统。
  • 闭系: 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统
  • 开系: 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统

热力学平衡态: 系统的各种宏观性质在长时间内不发生任何变化。

弛豫时间: 系统由其初始状态达到平衡状态所经历的时间称为弛豫时间。

热平衡定律 (热力学第零定律): 如果物体 A 和 物体 B 各自与处在同一状态的物体 C 达到热平衡，若令 A 与 B 进行接触，它们也将处在热平衡。

热力学温标: 不依赖于任何具体物质特性的温标。

# 公式

简单系统的一般物态方程形式为 f(p,V,T)=0f(p, V, T) = 0

三个重要的物理量

α=1V(∂V∂T)p(体胀系数)\tag{体胀系数} \alpha = \frac{1}{V}\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p

β=1p(∂p∂T)V(压强系数)\tag{压强系数} \beta = \frac{1}{p}\Big(\frac{\partial p}{\partial T}\Big)_V

κT=−1V(∂V∂p)T(等温压缩系数)\tag{等温压缩系数} \kappa_T = - \frac{1}{V}\Big(\frac{\partial V}{\partial p}\Big)_T

满足关系 α=κTβp\alpha = \kappa_T \beta p

一个重要的推导: dVV=αdT−κTdp\cfrac{dV}{V}= \alpha dT - \kappa_Tdp

# 功

  • 体积功: δW=−pdV\delta W = -pdV

  • 表面功: δW=σdA\delta W = \sigma dA (液膜有两层)

  • 电介质:

    δW=Udq\delta W = Udq

    δW=VEdD\delta W = VEdD

    δW=Vd(ϵ0E22)+VEdP\delta W = Vd\Big(\frac{\epsilon_0E^2}{2}\Big)+VEdP

  • 磁介质:

    δW=UIdt\delta W = UIdt

    δW=VHdB\delta W = VHdB

    δW=Vd(μ0H22)+μ0VHdM\delta W = Vd\Big(\frac{\mu_0H^2}{2}\Big)+\mu_0VHdM

# 声速

a=dpdρa = \sqrt{\cfrac{dp}{d\rho}}

a2=γpρ=γpVa^2=\gamma\cfrac{p}{\rho}=\gamma pV

式中 v=1ρv=\cfrac{1}{\rho} 称为比体积。

# 理想气体

理想气体的物态方程为 pV=nRTpV =nRT。

更精确的范德瓦尔斯方程形式为

(p+an2V2)(V−nb)=nRT(p + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT

理想气体无相互作用，故:

(∂U∂V)T=0\Big(\cfrac{\partial U}{\partial V}\Big)_T=0 (∂H∂p)T=0\Big(\cfrac{\partial H}{\partial p}\Big)_T=0 (∂T∂V)U=0\Big(\cfrac{\partial T}{\partial V}\Big)_U=0,称为焦耳系数

对于理想气体来说，满足多方过程 pVγ=常量pV^\gamma = \text{常量}，同时有 TVγ−1TV^{\gamma -1}, pγ−1Tγ\cfrac{p^{\gamma -1}}{T^\gamma} 也为常量。

# 熵

熵是系统中微观粒子无规运动的混乱程度的亮度。

dS=dQdTdS=\frac{dQ}{dT}

ΔS=∫T1T2mCpdTT\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{mC_pdT}{T}

物体吸热熵变为: mCplnT1T2mC_pln\cfrac{T_1}{T_2}

理想气体的熵:

S=CVln⁡T+nRln⁡V+S0S = C_V\ln T+nR\ln V+S_0

S=Cpln⁡T−nRln⁡V+S0S=C_p\ln T-nR\ln V+S_0

对于理想气体有:

(∂T∂p)S=VTαCp\Big(\frac{\partial T}{\partial p}\Big)_S=\frac{VT\alpha}{C_p}

熵增加原理: 经过绝热过程后，系统的熵永不减小。

# 热机与循环

对于等温过程，满足 Q=RTln⁡T2T1Q=RT\ln\cfrac{T_2}{T_1}

克劳修斯不等式: ∑QiTi⩽0\sum\cfrac{Q_i}{T_i}\leqslant 0

对于工作在两个物质之间的任何热机，满足: η=1−Q2Q1⩽1−T2T1\eta = 1 - \cfrac{Q_2}{Q_1} \leqslant 1 - \cfrac{T_2}{T_1}

卡诺热机: η=1−T2T1\eta =1 - \cfrac{T_2}{T_1}

制冷机: η制冷=T2T1−T2\eta_{\text{制冷}}= \cfrac{T_2}{T_1-T_2}

# 自由能与吉布斯函数

定义热力学状态函数自由能 F=U−TSF = U -TS

在等温等容条件下，系统的自由能永不增加，系统中发生的不可逆过程总是朝着自由能减少的方向进行的。

定义热力学状态函数吉布斯 (Gibbs) 函数 G=F+pV=U−TS+pVG = F +pV = U -TS + pV

等温等压条件下，系统的吉布斯函数用不增加，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。

# 习题

  1. 由理想气体的物态方程推导出理想气体的 α\alpha, β\beta, κT\kappa _T。

  2. 证明物态关系满足

    lnV=∫(αdT−κTdp)ln V = \int(\alpha dT - \kappa _Tdp)

  3. 如果认为固体和液体在一定范围内可以把 α\alpha 和 κT\kappa _T 视为常量，则有:

    V(T,p)−V0(T0,0)[1+α(T−T0)−κTp]V(T, p) - V_0 (T_0, 0) [1+ \alpha (T - T_0)-\kappa_Tp]

第二章