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    • 电磁学

      • 第一章
        • 电场与电势
          • 点电荷
            • 电偶极子
            • 高斯定理
              • 相互作用能
              • 第二章
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                        第一章

                        Mr.Hope2020年12月27日
                        • 物理
                        • 电磁学
                        大约 1 分钟

                        此页内容
                        • 电场与电势
                          • 点电荷
                          • 电偶极子
                        • 高斯定理
                        • 相互作用能

                        # 电场与电势

                        k=14πε0=μ04πk = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{\mu_0}{4\pi} k=4πε0​1​=4πμ0​​

                        F12=kq1q2r2e12⇀F_{12} = k \frac{q_1q_2}{r^2}\overrightharpoon{e_{12}} F12​=kr2q1​q2​​e12​​

                        E=Fq0E = \frac{F}{q_0} E=q0​F​

                        E⇀=−∇U\overrightharpoon{E} = - \nabla U E=−∇U

                        U=∫P∞E⇀⋅dl⇀U = \int_P^\infty\overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dl} U=∫P∞​E⋅dl

                        # 点电荷

                        E=Q4πε0r2E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2} E=4πε0​r2Q​

                        U=Q4πε0rU = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r} U=4πε0​rQ​

                        # 电偶极子

                        p⇀=ql⇀\overrightharpoon{p} = q \overrightharpoon{l}p​=ql, lll 由 −q-q−q 到 qqq

                        U=14πε0p⇀⋅er⇀r2U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\overrightharpoon{p}\cdot\overrightharpoon{e_r}}{r^2} U=4πε0​1​r2p​⋅er​​​

                        E={14πε2pr3中垂线14πεpr3延长线E = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{2p}{r^3} &\text{中垂线}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{p}{r^3} &\text{延长线} \end{cases} E={4πε1​r32p​4πε1​r3p​​中垂线延长线​

                        提示

                        对于电偶极子、电四极子这类题,主要利用 a≫ba \gg ba≫b 的条件,将结果变为包含 ba\frac{b}{a}ab​,合理舍去高阶小量。

                        虚功原理也可以用来解决电偶极子一类题:

                        Fl=∂w∂lF_l = \frac{\partial w}{\partial l} Fl​=∂l∂w​

                        Lθ=∂w∂θL_\theta = \frac{\partial w}{\partial\theta} Lθ​=∂θ∂w​

                        # 高斯定理

                        ΦE=∯sE⇀⋅dS⇀=1ε0∑iqi\varPhi_E = \oiint_s \overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dS} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i ΦE​=∬​s​E⋅dS=ε0​1​i∑​qi​

                        对于无限长线电荷密度为 ηe\eta_eηe​ 的线,其电场强度

                        E=ηe2πε0rE = \frac{\eta_e}{2\pi\varepsilon_0r} E=2πε0​rηe​​

                        对于无限大面电荷密度为 σe\sigma_eσe​ 的线,其电场强度

                        E=σe2ε0E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0} E=2ε0​σe​​

                        静电场的环路定理:

                        ∮LE⋅dl=0\oint_LE\cdot dl = 0 ∮L​E⋅dl=0

                        # 相互作用能

                        W互=14πε0∑i=1n∑j=1i−1qiqjrij=18πε0∑i=1n∑j=1nqiqjrij(i≠j)=12∑iqiUiW_{\text{互}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}} \\= \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{q_iq_j}{r_{ij}} (i\ne j) \\= \frac{1}{2}\sum_iq_iU_i W互​=4πε0​1​i=1∑n​j=1∑i−1​rij​qi​qj​​=8πε0​1​i=1∑n​j=1∑n​rij​qi​qj​​(i=j)=21​i∑​qi​Ui​

                        对于连续分布:

                        We=12∫VρeUdV(体)W_e = \frac{1}{2}\int_V\rho_eUdV \tag{体} We​=21​∫V​ρe​UdV(体)

                        We=12∫SσeUdS(面)W_e = \frac{1}{2}\int_S\sigma_eUdS \tag{面} We​=21​∫S​σe​UdS(面)

                        We=12∫lηeUdl(线)W_e = \frac{1}{2}\int_l\eta_eUdl \tag{线} We​=21​∫l​ηe​Udl(线)

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