第一章

电场与电势

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{\mu_0}{4\pi}$$

$$F_{12} = k \frac{q_1q_2}{r^2}\overrightharpoon{e_{12}}$$

$$E = \frac{F}{q_0}$$

$$\overrightharpoon{E} = - \nabla U$$

$$U = \int_P^\infty\overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dl}$$

点电荷

$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$$

$$U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$$

电偶极子

$\overrightharpoon{p} = q \overrightharpoon{l}$, $l$ 由 $-q$ 到 $q$

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\overrightharpoon{p}\cdot\overrightharpoon{e_r}}{r^2}$$

$$E = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{2p}{r^3} &\text{中垂线}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{p}{r^3} &\text{延长线} \end{cases}$$

提示

对于电偶极子、电四极子这类题，主要利用 $a \gg b$ 的条件，将结果变为包含 $\frac{b}{a}$，合理舍去高阶小量。

虚功原理也可以用来解决电偶极子一类题:

$$F_l = \frac{\partial w}{\partial l}$$

$$L_\theta = \frac{\partial w}{\partial\theta}$$

高斯定理

$$\varPhi_E = \oiint_s \overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dS} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i$$

对于无限长线电荷密度为 $\eta_e$ 的线，其电场强度

$$E = \frac{\eta_e}{2\pi\varepsilon_0r}$$

对于无限大面电荷密度为 $\sigma_e$ 的线，其电场强度

$$E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$$

静电场的环路定理:

$$\oint_LE\cdot dl = 0$$

相互作用能

$$W_{\text{互}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}} \\= \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{q_iq_j}{r_{ij}} (i\ne j) \\= \frac{1}{2}\sum_iq_iU_i$$

对于连续分布:

$$W_e = \frac{1}{2}\int_V\rho_eUdV \tag{体}$$

$$W_e = \frac{1}{2}\int_S\sigma_eUdS \tag{面}$$

$$W_e = \frac{1}{2}\int_l\eta_eUdl \tag{线}$$