第一章

Mr.Hope2020年12月27日
大约 1 分钟

电场与电势

k=14πε0=μ04π k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{\mu_0}{4\pi}

F12=kq1q2r2e12 F_{12} = k \frac{q_1q_2}{r^2}\overrightharpoon{e_{12}}

E=Fq0 E = \frac{F}{q_0}

E=U \overrightharpoon{E} = - \nabla U

U=PEdl U = \int_P^\infty\overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dl}

点电荷

E=Q4πε0r2 E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}

U=Q4πε0r U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}

电偶极子

p=ql\overrightharpoon{p} = q \overrightharpoon{l}, llq-qqq

U=14πε0perr2 U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\overrightharpoon{p}\cdot\overrightharpoon{e_r}}{r^2}

E={14πε2pr3中垂线14πεpr3延长线 E = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{2p}{r^3} &\text{中垂线}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{p}{r^3} &\text{延长线} \end{cases}

提示

对于电偶极子、电四极子这类题,主要利用 aba \gg b 的条件,将结果变为包含 ba\frac{b}{a},合理舍去高阶小量。

虚功原理也可以用来解决电偶极子一类题:

Fl=wl F_l = \frac{\partial w}{\partial l}

Lθ=wθ L_\theta = \frac{\partial w}{\partial\theta}

高斯定理

ΦE=sEdS=1ε0iqi \varPhi_E = \oiint_s \overrightharpoon{E}\cdot\overrightharpoon{dS} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i

对于无限长线电荷密度为 ηe\eta_e 的线,其电场强度

E=ηe2πε0r E = \frac{\eta_e}{2\pi\varepsilon_0r}

对于无限大面电荷密度为 σe\sigma_e 的线,其电场强度

E=σe2ε0 E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}

静电场的环路定理:

LEdl=0 \oint_LE\cdot dl = 0

相互作用能

W=14πε0i=1nj=1i1qiqjrij=18πε0i=1nj=1nqiqjrij(ij)=12iqiUi W_{\text{互}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}} \\= \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{q_iq_j}{r_{ij}} (i\ne j) \\= \frac{1}{2}\sum_iq_iU_i

对于连续分布:

We=12VρeUdV(体) W_e = \frac{1}{2}\int_V\rho_eUdV \tag{体}

We=12SσeUdS(面) W_e = \frac{1}{2}\int_S\sigma_eUdS \tag{面}

We=12lηeUdl(线) W_e = \frac{1}{2}\int_l\eta_eUdl \tag{线}

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