微分方程

Mr.Hope ... 2021-5-19 小于 1 分钟

# 概念

  • 微分方程表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。

  • 阶: 未知函数的最高阶的导数叫阶数

  • 一般形式: F(x,y,y,,y(n))F(x,y,y',\dots,y^{(n)})

    如果最高阶导数可以被解出,则有 y(n)=f(x,y,y,,y(n1))y^{(n)} = f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})

  • 解: 找到令方程变为恒等式的函数

  • 通解: 解中含有任意常数,且常数的个数与阶数相同

  • 初值条件: 给出特定 xx 下, y,y,,y(n)y,y',\dots,y^{(n)} 的值,此时求出的解为该条件下的特解。

  • 可分离变量: 形如 g(y)dy=f(x)dxg(y)dy = f(x)dx 的形式

    如果 f(x)f(x), g(y)g(y) 连续,且有 g(y)0g(y)\not =0,则可以积分出 G(y)=F(x)+CG(y) = F(x) + C

    Φ(x)=F(x)G(y)=f(x)g(y)\varPhi(x) = \cfrac{F'(x)}{G'(y)}=\cfrac{f(x)}{g(y)},则 y=Φ(x)y=\varPhi(x) 即为通解。

  • 齐次方程: 可化为