递归函数

Mr.Hope ... 2020-05-27 Python 大约 3 分钟

在函数内部,可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身,这个函数就是递归函数。

举个例子,我们来计算阶乘 n!=1×2×3××nn! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n ,用函数 fact(n)表示,可以看出:

fact(n)=n!=1×2×3××(n1)×n=(n1)!×n=fact(n1)×nfact(n)= n! =1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n -1 ) \times n \\ = (n - 1)! \times n = fact(n - 1) \times n

所以,fact(n) 可以表示为 n×fact(n1)n \times fact(n-1),只有 n=1 时需要特殊处理。

于是,fact(n)用递归的方式写出来就是:

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)
1
2
3
4

上面就是一个递归函数。可以试试:

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
1
2
3
4
5
6

如果我们计算fact(5),可以根据函数定义看到计算过程如下:

===> fact(5)
===> 5 *fact(4)
===> 5* (4 *fact(3))
===> 5* (4 *(3* fact(2)))
===> 5 *(4* (3 *(2* fact(1))))
===> 5 *(4* (3 *(2* 1)))
===> 5 *(4* (3 *2))
===> 5* (4 *6)
===> 5* 24
===> 120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

递归函数的优点是定义简单,逻辑清晰。理论上,所有的递归函数都可以写成循环的方式,但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中,函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的,每当进入一个函数调用,栈就会加一层栈帧,每当函数返回,栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的,所以,递归调用的次数过多,会导致栈溢出。可以试试 fact(1000):

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison
1
2
3
4
5
6
7

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化,事实上尾递归和循环的效果是一样的,所以,把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指,在函数返回的时候,调用自身本身,并且,return 语句不能包含表达式。这样,编译器或者解释器就可以把尾递归做优化,使递归本身无论调用多少次,都只占用一个栈帧,不会出现栈溢出的情况。

上面的 fact(n) 函数由于 return n * fact(n - 1) 引入了乘法表达式,所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式,需要多一点代码,主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中:

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return fact_iter(num - 1, num *product)
1
2
3
4
5
6
7

可以看到,return fact_iter(num - 1, num* product) 仅返回递归函数本身,num - 1num * product 在函数调用前就会被计算,不影响函数调用。

fact(5) 对应的 fact_iter(5, 1) 的调用如下:

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120
1
2
3
4
5
6

尾递归调用时,如果做了优化,栈不会增长,因此,无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是,大多数编程语言没有针对尾递归做优化,Python 解释器也没有做优化,所以,即使把上面的 fact(n) 函数改成尾递归方式,也会导致栈溢出。

# 小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰,缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的,没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python 标准的解释器没有针对尾递归做优化,任何递归函数都存在栈溢出的问题。